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密码学系列:签名

签名是用于消息的认证,保证该条消息不被伪造。本文主要讨论RSA签名、DSA、ECDSA 和 Schnorr 签名算法。

RSA签名

安全性建立在大数分解问题

公钥:E、N
私钥:D、N
签名:签名 = 消息^D mod N
验证:消息’ = 签名^E mod N ,如果消息’==消息则验证成功

DSA

由NIST(美国国家标准技术研究所)1991年制定的数字签名技术规范,是Schnorr算法的变体。

安全性建立在离散对数问题

密钥生成(1024bits):

  1. 生成素数 p,$2^{1023} < p < 2^{1024}$
  2. 找到 p-1 的一个素数 q,且 $2^{159} < q < 2^{160}$
  3. 找到 ord(a)=q 的元素 a,a 生成了拥有 q 个元素的子群
  4. 生成随机数,0 < d < q
  5. b = $a^d$ mod p
  6. 则密钥对为:$k_{pub}$ = (p,q,a,b),$k_{pri}$ = (d)

签名生成:

  1. 随机生成一个整数最为随机的临时密钥 $k_E$,且满足 0 < $k_E$ < q。
  2. 计算 r = ($a^{k_E}$ mod p) mod q
  3. 计算 s = (SHA(x)+d * r)$k_E^{-1}$ mod q

签名的验证:

  1. 计算辅助值 w = $s^{-1}$ mod q
  2. 计算辅助值 $u_1$ = w * SHA(x) mod q
  3. 计算辅助值 $u_2$ = w * r mod q
  4. v = ($a^{u_1} * b^{u_2}$ mod p) mod q
  5. v’ = r mod q,如果 v == v’ 则签名正确

Golang SDK dsa 签名过程代码:

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for attempts = 10; attempts > 0; attempts-- {
k := new(big.Int)
buf := make([]byte, n)
for {
_, err = io.ReadFull(rand, buf)
if err != nil {
return
}
//生成随机数密钥
k.SetBytes(buf)
// priv.Q must be >= 128 because the test above
// requires it to be > 0 and that
// ceil(log_2(Q)) mod 8 = 0
// Thus this loop will quickly terminate.
if k.Sign() > 0 && k.Cmp(priv.Q) < 0 {
break
}
}

//求密钥的逆
kInv := fermatInverse(k, priv.Q)

//计算 r
r = new(big.Int).Exp(priv.G, k, priv.P)
r.Mod(r, priv.Q)

if r.Sign() == 0 {
continue
}

z := k.SetBytes(hash)

//计算s
s = new(big.Int).Mul(priv.X, r)
s.Add(s, z)
s.Mod(s, priv.Q)
s.Mul(s, kInv)
s.Mod(s, priv.Q)

if s.Sign() != 0 {
break
}
}

ECDSA

安全性建立在基于椭圆曲线的离散对数问题

密钥的生成:

  1. 使用曲线 E

    • 模数为 p
    • 系数为 a 和 b
    • 生成元为 G,G 生成的循环群的阶(即元素的个数)为 n
  2. 选择一个随机数 d,0 < d < n

  3. 计算 K = dG

  4. 密钥对则为:$k_{pub}$ = (K),$k_{pri}$ = (d)

签名的生成(x 为消息):

  1. 随机生成一个整数最为临时密钥 $k_E$,且 0 < $k_E$ < q。
  2. $R_{(x_R,y_R)}$ = $k_E$G
  3. r = $x_R$ mod n
  4. s = (hash(x)+d * r)$k_E^{-1}$ mod n

签名的验证:

  1. 计算辅助值 w = $s^{-1}$ mod n
  2. 计算辅助值 $u_1$ = w * hash(x) mod n
  3. 计算辅助值 $u_2$ = w * r mod n
  4. $P_(x_P,y_P)$ = $u_1$G + $u_2$K
  5. 如果 $x_P$ == r mod n,则签名有效

Golang SDK ecdsa 签名过程代码:

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for {
for {
k, err = randFieldElement(c, csprng) //生成临时密钥
if err != nil {
r = nil
return
}

//计算 k的逆
if in, ok := priv.Curve.(invertible); ok {
kInv = in.Inverse(k)
} else {
kInv = fermatInverse(k, N) // N != 0
}

//计算 r
r, _ = priv.Curve.ScalarBaseMult(k.Bytes())
r.Mod(r, N)
if r.Sign() != 0 {
break
}
}

e := hashToInt(hash, c)
//计算 s
s = new(big.Int).Mul(priv.D, r)
s.Add(s, e)
s.Mul(s, kInv)
s.Mod(s, N) // N != 0
if s.Sign() != 0 {
break
}
}

pubkey recovery:

从签名信息中恢复公钥

比特币跟以太坊都有实现,但最终的签名信息序列化格式不同

// btc 中的格式
<(byte of 27+public key solution)+4 if compressed >< padded bytes for
signature R>

// 以太坊中的格式
[R || S || V] format where V is 0 or 1.

以太坊中的 go 实现也引用了btcd的代码,所以需要转换一下,具体可参考以太坊代码signature_nocgo.go

另:btc签名脚本中同时含有签名和公钥

公钥长度:

  • compressed: 65 byte (1+32+32)
  • uncompressed: 33 byte (1+32 )

Schnorr